Sucessão de Fibonacci

O problema dos coelhos

No livro a que nos referimos anteriormente, Líber Abaci, Fibonacci introduziu um problema por ele formulado que veio dar origem posteriormente a uma sucessão. Essa sucesão ficou conhecida na história como a Sucessão de Fibonacci e teve lugar no ano de 1202, quando Fibonacci se interessou pela reprodução dos coelhos. Ele criou então um cenário imaginário com as condições ideais, sob as quais os coelhos se poderiam então procriar.O objectivo era responder à seguinte questão: Quantos pares de coelhos é que vão existir daqui a  um ano?

No primeiro mês temos um coelho macho e um coelho fêmea. Estes dois coelhos acabaram de nascer. Um coelho só atinge a maturidade sexual ao fim de um mês. O período de gestação de um coelho dura um mês. Ao atingirem a maturidade sexual, a fêmea irá dar à luz todos os meses. A mãe irá dar todos os meses um coelho macho e um coelho fêmea. Os coelhos nunca morrem. Condições:

Demonstração:
Ao fim de um ano (12 meses) Fibonacci concluiu que:

Mês #0 - No início da experiência existe apenas um par de coelhos. Mês #1 – Após um mês, os coelhos acasalaram mas ainda não deram à luz (portanto existe somente um par de coelhos). Mês #2 – Neste mês já a fêmea deu à luz um par de coelhos. Existem agora dois pares de coelhos. Mês #3 – Depois de 3 meses, o par inicial de coelhos dá à luz mais um par de coelhos. No entanto, o segundo par acasala. Isto faz então um total de três pares. Mês #4 – Aos 4 meses, o par original tem mais um par de coelhos. O par nascido no mês #2 também dá à luz. O par de coelhos nascido no mês #3 acasalam, mas ainda não dão à luz. Isto faz um total de cinco pares. ... Mês #5 – Aos 5 meses, todos os pares que nasceram até há dois meses dão à luz. Isto totaliza oito pares.

Será que se consegue encontrar uma maneira de saber o número exacto de coelhos num determinado mês,sem ter de determinar o número de coelhos de todos os meses anteriores?
Claro que sim. Para isso é que serve a matemática.
Então quantos pares de coelhos nascem em cada mês?
É fácil. Como demora dois meses para cada novo par dar à luz, então cada par de coelhos que já existia há dois meses atrás irá dar à luz um novo par de coelhos. Por outras palavras, o número de novos pares de coelhos de cada mês, é igual ao número de coelhos nascidos dois meses antes.
Como nós queremos o número de pares de coelhos que estavam vivos antes dos novos nascerem, então  este número é o mesmo número de pares de coelhos que existem no mês anterior.
Concluindo, o número de pares de coelhos em determinado mês, é a soma dos pares de coelhos existentes nos dois meses anteriores a este.
Matematicamente, temos:

Fn = Fn-1 + Fn-2 ,n natural

Sucessão de Fibonacci

 Fonte:http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm41/suc-fib.htm

Os 100 primeiros números da sucessão de fibonacci
F(0) = 0                                              F(1) = 1                                              F(2) = 1                                                 F(3) = 2
F(4) = 3                                              F(5) = 5                                               F(6) = 8                                                F(7) = 13

F(8) = 21                                            F(9) = 34                                             F(10) = 55                                            F(11) = 89

F(12) = 144                                        F(13) = 233                                         F(14) = 377                                          F(15) = 610

F(16) = 987                                        F(17) = 1597                                       F(18) = 2584                                        F(19) = 4181

F(20) = 6765                                      F(21) = 10946                                     F(22) = 17711                                      F(23) = 28657

F(24) = 46368                                    F(25) = 75025                                     F(26) = 121393                                    F(27) = 196418

F(28) = 317811                                  F(29) = 514229                                   F(30) = 832040                                  F(31) = 1346269

F(32) = 2178309                                F(33) = 3524578                                 F(34) = 5702887                               F(35) = 9227465

F(36) = 14930352                              F(37) = 24157817                               F(38) = 39088169                           F(39) = 63245986

F(40) = 102334155                            F(41) = 165580141                             F(42) = 267914296                        F(43) = 433494437

F(44) = 701408733                            F(45) = 1134903170                           F(46) = 1836311903                    F(47) = 2971215073

F(48) = 4807526976                          F(49) = 7778742049                           F(50) = 12586269025                F(51) = 20365011074
F(52) = 32951280099                        F(53) = 53316291173                         F(54) = 86267571272              F(55) = 139583862445

F(56) = 225851433717                      F(57) = 365435296162                       F(58) = 591286729879            F(59) = 956722026041

F(60) = 1548008755920                    F(61) = 2504730781961                     F(62) = 4052739537881        F(63) = 6557470319842

F(64) = 10610209857723                  F(65) = 17167680177565                   F(66) = 27777890035288    F(67) = 44945570212853

F(68) = 72723460248141                  F(69) = 117669030460994                 F(70) = 190392490709135                 
F(71) = 308061521170129

F(72) = 498454011879264                F(73) = 806515533049393                 F(74) = 1304969544928657              
  F(75) = 2111485077978050

F(76) = 3416454622906707              F(77) = 5527939700884757               F(78) = 8944394323791464               
 F(79) = 14472334024676221

F(80) = 23416728348467685            F(81) = 37889062373143906             F(82) = 61305790721611591             
 F(83) = 99194853094755497

F(84) = 160500643816367088         F(85) = 259695496911122585         F(86) = 420196140727489673          
  F(87) = 679891637638612258

F(88) = 1100087778366101931       F(89) = 1779979416004714189       F(90) = 2880067194370816120          
 F(91) = 4660046610375530309

F(92) = 7540113804746346429       F(93) = 12200160415121876738     F(94) = 19740274219868223167       
  F(95) = 31940434634990099905

F(96) = 51680708854858323072     F(97) = 83621143489848422977      F(98) = 135301852344706746049    
  F(99) = 218922995834555169026